Analysis of a Quadratic Programming Decomposition Algorithm

We analyze a decomposition algorithm for minimizing a quadratic objective function, separable in x1 and x2, subject to the constraint that x1 and x2 are orthogonal vectors on the unit sphere. Our algorithm consists of a local step where we minimize the objective function in either variable separately, while enforcing the constraints, followed by a global step where we minimize over a subspace generated by solutions to the local subproblems. We establish a local convergence result when the global minimizers nondegenerate. Our analysis employs necessary and su cient conditions and continuity properties for a global optimum of a quadratic objective function subject to a sphere constraint and a linear constraint. The analysis is connected with a new domain decomposition algorithm for electronic structure calculations. Key-words: quadratic programming, orthogonality constraints, domain decomposition method, electronic structure calculations ∗ August 29, 2007. This material is based upon work supported by the National Science Foundation under Grants 0619080 and 0620286. † [email protected] .edu, http://www.math.u .edu/∼hager, PO Box 118105, Department of Mathematics, University of Florida, Gainesville, FL 32611-8105. Phone (352) 392-0281. Fax (352) 392-8357. ‡ EDF R&D, 1 Avenue du Général de Gaulle, 92141 Clamart Cedex, France and INRIA, MICMAC team project, BP 105, 78153 Rocquencourt, France. § CERMICS, École Nationale des Ponts et Chaussées, 6 & 8, Avenue Blaise Pascal, Cité Descartes, 77455 Marne-La-Vallée Cedex 2, France and INRIA, MICMAC team project, BP 105, 78153 Rocquencourt, France. ¶ CERMICS, École Nationale des Ponts et Chaussées, 6 & 8, Avenue Blaise Pascal, Cité Descartes, 77455 Marne-La-Vallée Cedex 2, France and INRIA, MICMAC team project, BP 105, 78153 Rocquencourt, France. in ria -0 01 69 08 0, v er si on 5 2 Ju n 20 09 Analyse d'un algorithme de décomposition pour un problème de programmation quadratique Résumé : On présente l'analyse numérique d'un algorithme de décomposition pour la minimisation d'une fonction coût quadratique, séparable en x1 et x2, sous la contrainte que x1 et x2 sont orthogonaux sur la sphère unité. Notre algorithme consiste en une étape locale où la fonction coût est minimisée séparément en chacune de ses deux variables, en respectant les contraintes. Cette première étape est suivie d'une étape globale où on minimise la fonction coût sur un sous-espace généré par les solutions de l'étape locale. Un théorème de convergence locale est établi quand les minimiseurs globaux ne sont pas dégénérés. Notre analyse utilise les conditions nécessaires et su santes et les propriétés de continuité du minimum global d'une fonction coût quadratique minimisée sous une double contrainte sphérique et linéaire. Cette analyse est reliée à un nouvel algorithme de décomposition de domaine pour les calculs de structure électronique. Mots-clés : programmation quadratique, contraintes d'orthogonalité, méthode de décomposition de domaine, calculs de structure électronique in ria -0 01 69 08 0, v er si on 5 2 Ju n 20 09 Analysis of a Quadratic Programming Decomposition Algorithm 3